Як ви гадаєте, що спільного у равлика, нашої галактики та Леонардо да Вінчі? Усі троє мають пряме відношення до чисел Фібоначчі — послідовності, яка оточує нас скрізь: в природі, мистецтві та навіть у далекому космосі.
Дехто називає послідовність Фібоначчі — найважливішою у всій математиці. Вона ніби-то керує усім, що існує у всесвіті. В цій статті ми розповімо що таке числа Фібоначчі, де в природі та житті можна їх зустріти та чому цією простою послідовністю захоплюється так багато людей.
Хто такий Фібоначчі?
Леонардо Фібоначчі, справжнє ім’я якого Леонардо Пізанський, був видатним математиком середньовічної Європи. Він народився приблизно в 1170 році в Пізі, Італія. Батько Леонардо, був торговцем і часто їздив у Північну Африку, де працював консулом. Саме там Леонардо почав вивчати математику у арабських вчителів.
Повернувшись до Італії, Фібоначчі почав знайомити європейців з індуїстсько-арабською системою числення, яка тоді була невідомою в Європі. У 1202 році він опублікував книгу “Liber Abaci” (“Книга абака”), де пояснив нову систему числення на основі десяткової системи. Це значно полегшило обчислення і стало справжньою революцією в математиці того часу.
Фібоначчі також написав кілька інших важливих математичних книг, таких як “Practica Geometriae” і “Flos”, де розвивав алгебру і геометрію. Його роботи допомогли поширити математичні знання і стали основою для подальшого розвитку математики в Європі. Леонардо помер приблизно в 1250 році, залишивши великий вплив на математичну науку.
Що таке числа Фібоначчі?
Числа (або послідовність) Фібоначчі — це послідовність, в якій кожне наступне число є сумою двох попередніх. Послідовність починається з чисел 0 і 1. Ось як виглядають перші кілька чисел цієї послідовності:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 …
Щоб знайти будь-яке число в цій послідовності, потрібно скласти два попередні числа. Наприклад, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2 і так далі.
Саме Фібоначчі вперше представив її у своїй книзі Liber Abaci в 1202 році. Він використав цю послідовність, щоб показати, як швидко може збільшуватися кількість кроликів, якщо кожна пара кроликів народжує нову пару щомісяця, починаючи з другого місяця життя.
Хоча послідовність чисел була відома ще в стародавній Індії, завдяки Фібоначчі вона стала популярною в Європі. Через це послідовність і називають його ім’ям.
Шукаєш репетитора з математики?
Mathema підбере викладача під потреби дитини
Формула послідовності Фібоначчі
Формула послідовності Фібоначчі дозволяє обчислити будь-який член послідовності. Вона виглядає так:
Fn = Fn-1 + Fn-2
- де Fn — це n-не число в послідовності
- Fn-1 + Fn-2 — два попередні числа.
Чому числа Фібоначчі такі цікаві?
Послідовність Фібоначчі тісно пов’язана із золотим перетином – особливою пропорцією, яку також називають божественною пропорцією. Якщо говорити просто, золотий перетин виникає, коли відношення між двома частинами будь-чого дорівнює приблизно 1.618. Це число позначають символом 𝜑.
Як це виглядає на практиці? Уявімо, що у нас є відрізок, який ми поділили на дві частини — велику a і меншу b. Відрізок буде поділений у золотому перетині, якщо відношення всього відрізка до більшої частини дорівнює відношенню більшої частини до меншої, тобто:
\[\frac{a+b}a=\frac ab=\varphi\]Але до чого тут числа Фібоначчі? Все просто, у послідовності кожен наступний крок збільшується за законами золотого перетину. Якщо поділити будь-яке число Фібоначчі на попереднє, ми отримаємо число, близьке до 1.618. Ось як повʼязані послідовність Фібоначчі та Золотий перетин.
Числа Фібоначчі в житті
Послідовність Фібоначчі зустрічається в музиці, мистецтві, природі, космосі та всюди навколо нас. Зазвичай її можна зустріти у формі золотого перетину. Прикладів так багато, що люди надають цим числам магічного значення. Дехто навіть вважає, що це основа створення всесвіту. Ось кілька прикладів чисел Фібоначчі навколо нас.
Послідовність Фібоначчі в природі
Спіральні мушлі: Мушлі багатьох молюсків ростуть у формі спіралі, і ця спіраль часто відповідає числам Фібоначчі.
Розташування листя на стеблі: У багатьох рослин листя розташоване на стеблі так, щоб максимізувати поглинання сонячного світла. Відстань між листками і кількість листків у витку часто відповідають числам Фібоначчі.
Квіти та суцвіття: Кількість пелюсток у квітів часто відповідає числам Фібоначчі. Наприклад, лілії мають 3 пелюстки, жовтець — 5, ромашки — 34 або 55. Схожі закономірності можна побачити в розташуванні насіння в шишках сосни або соняшниках.
Числа Фібоначчі в мистецтві
Числа Фібоначчі і золотий перетин часто використовуються в мистецтві для створення гармонійних і красивих творів. Ось три приклади, де їх можна побачити:
Парфенон в Афінах: Висота фасаду Парфенону співвідноситься з його шириною за принципом золотого перетину. Якщо поділити фасад на квадрати і прямокутники, багато з них будуть відповідати числам Фібоначчі. Кількість колон і їх розміщення також підкоряються принципу золотого перетину, що робить будівлю візуально гармонійною.
Мона Ліза Леонардо да Вінчі: Якщо подивитися на обличчя Мони Лізи, можна помітити, що відстань від верхньої частини голови до підборіддя співвідноситься з відстанню від очей до підборіддя приблизно як 1.618/ Леонардо використовував ці пропорції, щоб досягти гармонії між фігурою Мони Лізи і фоном. Співвідношення висоти і ширини картини також наближається до золотого перетину.
Числа Фібоначчі в програмуванні
Числа Фібоначчі грають важливу роль у програмуванні, особливо коли ми вивчаємо алгоритми та структури даних.
Обчислення послідовності Фібоначчі ідеально підходить для демонстрації рекурсивних функцій і застосування динамічного програмування. Вони часто зустрічаються в різноманітних алгоритмах і структурах даних, таких як алгоритми пошуку, стиснення даних та оптимізація продуктивності. Вивчення їх на курсах з алгоритмів та структур даних допомагає студентам зрозуміти, як використовувати абстрактні математичні концепції на практиці.
Концепція чисел Фібоначчі досить проста і зрозуміла. Це робить їх ідеальним матеріалом для навчання основ програмування, алгоритмів та рекурсії. Вони легко візуалізуються, що полегшує процес засвоєння матеріалу.
Існує багато способів обчислити числа Фібоначчі: від ітеративних алгоритмів та рекурсивних функцій до динамічного програмування і математичних формул. Це дає студентам можливість вивчити різні підходи до розв’язання задач і порівняти їхню ефективність.
Числа Фібоначчі мають практичне застосування. Хоча це абстрактна математична концепція, вони використовуються в реальному житті для оптимізації коду, розв’язання певних задач і розробки алгоритмів для пошуку, сортування та інших операцій.
