Бісектриса трикутника – це відрізок, який виходить з вершини кута і ділить цей кут на дві рівні частини. Важлива властивість бісектрис трикутника: усі три бісектриси перетинаються в одній точці, яка називається інцентром. Інцентр є центром кола, вписаного в трикутник.
Властивості бісектриси
- Точка перетину бісектрис – інцентр: У будь-якому трикутнику бісектриси всіх трьох кутів перетинаються в одній точці. Ця точка є центром кола, вписаного в трикутник. Відстань від інцентра до кожної сторони трикутника є однаковою, і ця відстань дорівнює радіусу вписаного кола.
- Теорема бісектрис: Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні до прилеглих сторін трикутника. Іншими словами, якщо точка перетину бісектриси з протилежною стороною – це точка D, а трикутник має сторони a, b, і c, то:
\[\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}\]
- Бісектриси у рівносторонньому трикутнику: У рівносторонньому трикутнику всі бісектриси є також медіанами та висотами, оскільки кути і сторони рівні. Усі три бісектриси перетинаються в центрі трикутника, який також є центром описаного та вписаного кола.
- Бісектриси у рівнобедреному трикутнику: У рівнобедреному трикутнику бісектриса кута між двома рівними сторонами також є медіаною і висотою. Вона ділить основу трикутника на дві рівні частини.
Формула для знаходження бісектриси
Довжину бісектриси можна знайти за допомогою спеціальної формули, яка враховує сторони трикутника. Якщо у трикутнику сторони мають довжини a, b і c, а бісектриса проведена до сторони a, тоді довжина бісектриси L обчислюється за такою формулою:
\[L=\sqrt{bc\left(1-\frac{а^2}{{(b+с)}^2}\right)}\]Де:
- a – сторона, до якої проведена бісектриса;
- b і c – інші сторони трикутника.
Ця формула є досить корисною, коли потрібно обчислити довжину бісектриси, не використовуючи її безпосереднього вимірювання. Зазначимо, що для правильного застосування цієї формули необхідно знати довжини всіх сторін трикутника.
Бісектриса в практичних задачах
Бісектриса часто використовується для розв’язання задач на поділ кутів і сторін у трикутниках, а також для побудови геометричних фігур. У прикладних задачах, наприклад, при розробці архітектурних проєктів або дизайні машин, розуміння властивостей бісектрис може допомогти знайти оптимальні рішення для розподілу сил або пропорційного розміщення елементів.
Висновок
Бісектриса є важливою геометричною конструкцією, яка володіє численними властивостями. Вона не тільки ділить кути трикутника, але й допомагає знайти інцентр – центр вписаного кола. Використовуючи відповідні формули, можна легко визначити її довжину та ефективно застосовувати в різних математичних задачах.
