Трикутник – одна з основних геометричних фігур. Для розв’язування геометричних задач варто знати всі елементи трикутника (вершини, сторони, кути), а також відрізки розміщені всередині трикутника (висота, бісектриса, медіана, середня лінія). Всі ці складові є невід’ємними частинами у розв’язуванні геометричних задач. У даній статті розглянемо детальніше середню лінію трикутника та її властивість.
Що таке середня лінія трикутника?
Середня лінія трикутника – відрізок, що сполучає середини двох його сторін.
Припустимо ми маємо трикутник зі сторонами ABC, де точка М – середина АВ, а точка N – середина BC. В такому випадку MN – це середня лінія трикутника.
Скільки середніх ліній у трикутнику?
У трикутнику завжди можна побудувати три середні лінії, оскільки в ньому є три пари сторін. Кожна середня лінія з’єднує середини двох сторін трикутника, створюючи паралельність і пропорційність із третьою стороною. Ці лінії виконують не тільки теоретичну, але й практичну функцію: вони спрощують обчислення, допомагають у розв’язуванні задач і є ключем до поділу трикутника на чотири рівні частини.
Основні властивості середньої лінії трикутника
Середня лінія трикутника:
- Сполучає середини двох сторін.
- Паралельна третій стороні:
\[MN\hspace{0.1cm}||\hspace{0.1cm}AC\]
- Дорівнює половині сторони до якої паралельна.
\[MN=\frac{AC}{2}\]
- Ділить трикутник на дві рівновеликі частини.
Як знайти середню лінію трикутника?
Задача 1.
KL – середня лінія трикутника ABC.
1) Якщо AB = 14 см., знайдіть KL.
2) Якщо KL = 6дм., знайдіть AB.
Розв’язання.
1) За властивістю середньої лінії трикутника:
\[KL=\frac{AB}{2}=\frac{14}{2}=7см.\]
2) За властивістю середньої лінії трикутника:
\[KL=\frac{AB}{2},\hspace{0.5cm}то\hspace{0.5cm}AB=2\times KL=2\times 6=12 дм.\]
Відповідь: 1) 7 см; 2) 12дм.
Задача 2.
Знайдіть периметр трикутника, якщо його середні лінії дорівнюють MK = 7 см, NK = 8 см і MN = 10 см.
Розв’язання.
За властивістю середньої лінії трикутника:
\[MK=\frac{BC}{2},\hspace{0.5cm}BC=2\times MK=2\times 7=14 см.\] \[NK=\frac{AB}{2},\hspace{0.5cm}AB=2\times NK=2\times 8=16 см.\] \[MN=\frac{AC}{2},\hspace{0.5cm}AC=2\times MN=2\times 10=20 см.\] \[P_{ABC}=AB+BC+AC=16+14+20=50 см.\]
Відповідь: Периметр трикутника дорівнює 50см.
Задача 3.
Точки E і F – відповідно середини AB і BC трикутника ABC. Знайдіть сторону AC, якщо вона на 7 см більша за відрізок EF.
Розв’язання.
E – середина AB, F – середина BC, тоді EF – середня лінія трикутника. За властивістю середньої лінії трикутника:
\[EF=\frac{AC}{2},\hspace{0.5cm}або\hspace{0.5cm}AC=2\times EF\]
Так як за умовою задачі AC більше за EF на 7 см., використаємо рівняння для знаходження відповіді.
Нехай EF = x см, тоді AC = (x+7) см. Розв’яжемо рівняння:
x + 7 = 2x
x – 2x = -7
-x = -7
x = 7
Отже, EF = 7 см, AC = 2 помножити на 7 = 14 см.
Відповідь: 14 см.
Висновок
Середня лінія трикутника — це не лише теоретичне поняття, а й важливий інструмент для аналізу та розв’язання практичних задач. Її вивчення дозволяє глибше зрозуміти природу геометрії та її застосування в реальному житті. З більш детальним аналізом цієї та інших тем Вам допоможуть наші кваліфіковані репетитори.
