Розкладання многочленів на множники: метод групування

Розкладання многочленів на множники означає, що многочлен потрібно подати у вигляді добутку многочленів. Розкладання многочленів допомагає легко їх спростити. Існує декілька методів розкладання на множники:

1. Винесення спільного множника за дужки
2. Використання формул скороченого множення
3. Метод групування 

Кожен з методів застосовується залежно він многочлена, який поданий в умові задачі. Розглянемо детальніше метод групування.

Суть методу групування

Метод групування використовується, коли у многочлена немає єдиного спільного множника, який можна винести за дужки для всіх доданків. Наприклад:

3m + am + 3n + an

Суть методу: доданки многочлена потрібно згрупувати так, щоб у кожній групі можна було винести спільний множник за дужки. Після цього виконують спрощення за формулою розподільного закону.

Покрокова інструкція методу групування

• Розділення на групи. Розділити так, щоб в кожній з них можна було винести спільний множник.

(3m + am) + (3n + an)

• Винесення спільного множника за дужки. У кожній групі винести спільний множник за дужки. Це може бути як числовий так і буквений вираз.

(3m + am) + (3n + an) = m(3 + a) + n(3 + a)

• Повторне винесення спільного множника. Після винесення спільних множників за дужки у кожній групі зазвичай утворюється вираз зі спільним множником, який також можна винести за дужки.

= m(3 + a) + n(3 + a) = (3 + a)(m + n)

Приклад

Розкласти на множники наступне рівняння:

3p – 3k – 4ap + 4ak

• Групування:

(3p – 3k) + (- 4ap + 4ak)

• Винесення спільного множника:

3(p – k) – 4a(p – k)

• Повторне винесення спільного за дужки:

(p – k)(3 – 4a)

Отже, кінцевий результат буде:

3p – 3k – 4ap + 4ak = (p – k)(3 – 4a)

Метод групування в тричлені

Метод групування зазвичай застосовують для многочленів із парною кількістю доданків, проте його можна використовувати і для тричленів. У цьому випадку тричлен потрібно перетворити на многочлен із парною кількістю доданків, після чого застосувати звичайну схему.

Приклад

Розкласти на множники рівняння:

\[x^2+7x+12\]

• Розкладання другого члена на доданки: знайдемо два числа, добуток яких дорівнює 12, а сума – 7. Це числа 3 і 4.

\[x^2+3x+4x+12\]

• Групування:

\[(x^2+3x)+(4x+12)\]

• Винесення спільного множника за душки:

\[x(x+3)+4(x+3)\]

• Повторне винесення спільного множника:

\[(x+3)(x+4)\]

Кінцевий результат:

\[x^2+7x+12=(x+3)(x+4)\]

Висновок

Метод групування – зручний інструмент в роботі з розкладом многочлена на множники. Особливо, коли інші методи не працюють або процес розкладу доволі складний. Вміння застосовувати цей метод допоможе спрощувати складні вирази, розв’язувати задачі та рівняння.
Якщо ж при спрощенні виразів методом групування все ще виникають питання, репетитор з математики для 7 класу допоможе справитися з труднощами.