Математика — наука не лише про цифри, а й про вміння працювати з ними та застосовувати до різних типів завдань. У статті розглянемо два дуже важливі математичні поняття:
- Рівносильні рівняння
- Раціональні рівняння
Вміння розв’язувати рівняння дуже важливе, оскільки рівняння допомагають вирішити ряд задач набагато простіше.
Що таке рівносильні рівняння?
Рівносильними називають рівняння, що мають однакові корені, або їх зовсім не мають. Тобто розв’язки одного рівняння є розв’язками іншого.
Приклад
Довести, що наступні два рівняння рівносильні:
\[3x=9\\та\\x+3=12\]
Розв’яжемо кожне з рівнянь.
Рівняння 1.
\[3x=9\\x=9:3\\x=3\]
Рівняння 2.
\[x+9=12\\x=12-9\\x=3\]
Отже, дані рівняння рівносильні, оскільки кожне з них має один корінь – число 3.
Як утворити рівносильне рівняння?
Для отримання рівносильних рівнянь можна використати:
1. Додавання або віднімання однакових виразів
Якщо додати (або відняти) один і той самий вираз до обох частин рівняння, розв’язки не змінюються.
Наприклад, додамо 3 до обох частин рівняння:
\[x-3=7\]
Тоді отримаємо:
\[x-3+3=7+3\\x=10\]
2. Множення або ділення на ненульове число
Обидві частини рівняння помножити або поділити на одне і теж число, то отримаємо рівняння рівносильне даному.
Важливо: ділення на 0 заборонене.
Приклад
3. Піднесення до степеня (за умови збереження однозначності)
Якщо рівняння піднести до степеня, то отримаємо рівносильне рівняння до даного.
Приклад
Маємо рівняння:
\[x=2\]
Піднесемо ліву і праву частину рівняння до квадрату:
\[x^2=2^2\]
Отримаємо рівняння:
\[x^2=4\]
Що таке раціональні рівняння?
Раціональне рівняння — це рівняння, яке містить раціональні вирази. Раціональний вираз, своєю чергою, є відношенням (дробом), де чисельник і знаменник — це многочлени.
Загальний вигляд:
\[\frac{P(x)}{Q(x)}=0\]
P(x), Q(x) – многочлени. Головна складність таких рівнянь полягає у знаменниках, які не можуть дорівнювати нулю. Тому першим кроком у розв’язанні завжди є визначення області допустимих значень змінної (ОДЗ).
Методи розв’язування раціональних рівнянь
Для найпростішого раціонального рівняння розв’язок можна знайти замінивши дріб на систему, у якій чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює 0.
Приклад
\[\frac{x+2}{x-1}=0\]
Відповідь
\[x=-2\]
Якщо ж рівняння має більш складний вигляд, то ми можемо скористатися одним з наступних методів.
1. Множення на найменший спільний знаменник
Розв’язати рівняння
\[\frac{5}{x^2-4}+\frac{2x}{x+2}=2\]
Крок 1. Знаходження ОДЗ.
Крок 2. Визначення найменшого спільного знаменника та множення кожної частини рівняння на даний вираз.
Крок 3. Спрощення.
Крок 4. Розв’язання лінійного рівняння.
\[-4x=-8-5\\-4x=-13\\x=\frac{-13}{-4}\\x=3\frac{1}{4}\]
Крок 5. Відповідь.
\[x=3\frac{1}{4}\]
2. Зведення до найпростішого раціонального
Для того, щоб скористатися даним методом, варто дроби звести до спільного знаменника та простити вираз в чисельнику.
Розв’язати рівняння.
\[\frac{2x+1}{x}-3=0\]
Крок 1. Знайти ОДЗ.
\[x\neq0\]
Крок 2. Звести до спільного знаменника.
\[\frac{2x+1-3x}{x}=0\]
Крок 3. Звести подібні доданки в чисельнику.
\[\frac{-x+1}{x}=0\]
Крок 4.Прирівняти чисельник до нуля.
Крок 5. Відповідь.
\[x=1\]
3. Застосування властивостей пропорції
За властивістю пропорції, достатньо помножити крайні та середні член дробу.
Розглянемо детальніше на прикладі.
\[\frac{x-4}{x-3}=\frac{2x+1}{2x-1}\]
Крок 1. Шукаємо ОДЗ дробів.
Крок 2. Застосовуємо основну властивість пропорції. Множимо чисельники та знаменники навхрест.
\[(x-4)(2x-1)=(x-3)(2x+1)\]
Крок 3. Розкриваємо дужки та зводимо подібні доданки.
Крок 4. Розв’язуємо лінійне рівняння.
\[x=\frac{7}{4}\]
Висновок
Рівносильні рівняння – це інструмент для спрощення розв’язування рівнянь. Завдяки їм можна ефективно виконувати задачі швидше та ефективніше.
Раціональні рівняння часто використовуються в різних задачах і є важливою складовою алгебри. Щоб успішно їх розв’язувати, дотримуйтесь вище зазначеного алгоритму.
За допомогою та підказками звертайтесь y Mathema, де Ви зможете також скористатися послугами наших досвідченних репетиторів.
