Рівняння прямої — це математичний вираз, який описує всі точки, які лежать на прямій у двовимірній системі координат. Прямо зустрічаються в геометрії, фізиці, економіці та багатьох інших галузях. У цій статті розглянемо різні форми рівня прямої, як їх знаходити та використовувати.
Що таке рівняння прямої?
Рівняння прямої — це лінійне рівняння з двома змінними (зазвичай x і y), якому задовольняє кожна точка прямої. Його можна використовувати для знаходження точок на прямій, для розв’язування різноманітних геометричних задач. Рівняння прямої можна записати у різних формах:
- Загальне рівняння
- Через кут нахилу
- Через дві точки
- У відрізках на осях.
Розглянемо кожну з них детальніше.
Основні форми рівняння прямої
1. Загальне рівняння прямої
\[ax+by=c\]
Де a, b, c – коефіцієнти.
Ця форма універсальна, але для полегшення роботи із задачами переходять до інших форм.
Якщо ж хоча б один з коефіцієнтів рівний нулю, рівняння матиме іншу форму запису. Нижче розглянемо кожне з них.
2. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
\[y=kx+b\]
Де:
k – кутовий коефіцієнт, що дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до осі OX.
b – точка перетину прямої з віссю OY.
Цю форму зручно використовувати для графічного зображення прямої.
Для того, щоб знайти кутовий коефіцієнт можна скористатися формулою:
\[k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]
Варто пам’ятати:
Якщо дві прямі паралельні, то їх кутові коефіцієнти рівні.
\[k_1=k_2\]
Якщо прямі перпендикулярні, то добуток кутових коефіцієнтів дорівнює -1.
\[k_1\times k_2=-1\]
3. Рівняння прямої у відрізках на осях
\[\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\]
Де:
a – відрізок, який відтинає пряма на осі Ox
b – відрізок, який відтинає пряма на OY.
Ця форма використовується, якщо пряма перетинає обидві осі координат.
4. Рівняння прямої через дві точки
\[\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}\]
Де:
\[(x_1;y_1)\\та\\(x_2;y_2)\]
– це координати точок, через які проходить пряма.
Приклади застосування
1. Чи належить точка А(3;4) прямій x+y-7=0.
Для перевірки достатньо підставити координати точки в дане рівняння прямої:
Так як зліва отримали вираз, який рівний 0, то А(3;4) належить прямій.
2. Скласти рівняння прямої, що проходить через точки M(-1;2) і N(-3;4).
Скористаємось формулою:
\[\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}\]
Підставимо координати точок:
\[\frac{x-(-1)}{-3-(-1)}=\frac{y-2}{4-2}\]
Спростимо:
\[\frac{x+1)}{-2}=\frac{y-2}{2}\]
Перемножимо “навхрест”, використовуючи основну властивість пропорції:
\[2(x+1)=-2y+4\]
Розкриємо дужки :
\[2x+2=-2y+4\]
Зведемо до загального рівняння прямої:
\[2x-2y=4-2\]
Остаточний результат:
\[2x-2y=2\]
3. Чи паралельні прямі y=-4x+3 та y=-4x?
Дані прямі паралельні, оскільки їх кутові коефіцієнти рівні.
Висновок
Рівняння прямої — це базовий інструмент геометрії, який має кілька форм залежно від задачі. Знання різних форм запису рівняння прямої полегшує розв’язання ряду задач.
Якщо Вам складно зрозуміти всі нюанси цієї теми, радимо звернутися до репетитора математики. Він допоможе розібратися з теоретичними основами, показати практичні прийоми розв’язання задач і закріпити знання на прикладах, що відповідають Вашому рівню.
