Парабола — це крива у формі букви “U”, яка утворюється на графіку, коли ви малюєте рівняння виду y = ax²+bx+c.
Вона має одну вершину, яка є найвищою або найнижчою точкою, і симетричну вісь, яка проходить через цю вершину. Параболи часто зустрічаються у фізиці, архітектурі та інших науках, наприклад, траєкторія польоту м’яча описується параболою.
У цій статті ви дізнаєтеся все про параболу: яка її формула, що таке рівняння параболи, кубічна парабола і які її властивості.
Що таке парабола?
Парабола є однією з найважливіших кривих у математиці, яка належить до класу конічних перетинів. Вона утворюється перетином конуса площиною, що є паралельною одній з його твірних. Геометрично, парабола є множиною точок на площині, які розташовані на рівній відстані від фокуса та директриси. Фокус — це фіксована точка, а директриса — це фіксована лінія.
Формула параболи
Формула параболи — це математичне рівняння, яке описує форму та розташування параболи на площині. Найчастіше використовують стандартну формулу параболи в декартовій системі координат:
\[y=ax^2+bx+c\]a, b, і c — константи, які визначають форму та положення параболи:
- a визначає крутість параболи і її напрямок (якщо a > 0, парабола відкривається вгору, якщо a < 0 — вниз.).
- b впливає на нахил параболи.
- c визначає перетин параболи з віссю y.
Властивості параболи
Вершина — це точка, в якій парабола змінює свій напрямок. Вона є або найвищою, або найнижчою точкою на кривій, залежно від значення коефіцієнта aaa. Координати вершини можна знайти за формулами:
\[x=-\frac b{2a};\;y=c-\frac{b^2}{4a}\]
Фокус і директриса. Парабола має одну фокусну точку і одну директрису. Відстань від вершини до фокуса і до директриси є однаковою.
Вісь симетрії. Парабола симетрична відносно осі, яка проходить через її вершину та фокус. Ця вісь є вертикальною, якщо рівняння параболи записане у стандартній формі.
Кубічна парабола
Кубічна парабола — це графік рівняння третього степеня, який має загальний вигляд:
\[y=ax^4+bx^2+cx+d\]Де a, b, c та d — константи, що визначають форму, нахил і положення кривої.
На відміну від звичайної (квадратичної) параболи, кубічна парабола може мати складнішу форму. Вона може містити одну або дві вигнуті ділянки, що утворюють S-подібну або хвилеподібну криву. Кубічна парабола також може мати одну, дві або три точки перетину з віссю x, що відрізняє її від параболи другого степеня, яка має максимум дві такі точки.
Цей тип кривої часто зустрічається в математичному моделюванні, фізиці та інженерії, де потрібно описати більш складні залежності між змінними.
Використання парабол у різних галузях
Фізика. Параболічні траєкторії часто зустрічаються у фізиці, зокрема при описі руху тіл під дією сили тяжіння, коли на тіло діє лише сила тяжіння, без опору повітря.
Інженерія. Параболічні антени використовуються для збору або передачі радіохвиль у телекомунікаціях. Вони здатні фокусувати хвилі у фокусі параболи, забезпечуючи потужний сигнал.
Оптика. Параболічні дзеркала відображають світло таким чином, що всі відбиті промені сходяться в одній точці — фокусі. Це дозволяє створювати концентровані пучки світла.
Парабола у реальному житті
Параболічні форми зустрічаються не лише в науці, але й у природі та архітектурі. Наприклад, форма арок у багатьох будівлях є параболічною, що дозволяє рівномірно розподілити вагу та створювати стійкі конструкції. Також форма фонтана, де вода піднімається і падає, описує параболу.
Висновок
Парабола — це одна з фундаментальних кривих у математиці, яка має безліч застосувань у різних галузях науки та техніки. Розуміння її властивостей дозволяє не тільки розв’язувати математичні задачі, але й застосовувати ці знання у реальному житті, від проєктування будівель до розрахунку траєкторій руху.
