У цій статті ми розповімо про основні поняття теорії множин, зокрема про те, що таке множина, як визначаються її елементи, а також розглянемо важливі операції над множинами: об’єднання множин, перетин множин, різниця та симетрична різниця множин.
Ми також пояснимо, як використовувати ці операції на практиці та продемонструємо приклади за допомогою діаграм Венна, щоб краще зрозуміти взаємодію між множинами.
Множина — це одне з основних понять математики, яке використовується для позначення сукупності чітко визначених і розрізнених об’єктів. Ці об’єкти називаються елементами множини. Множини можуть складатися з будь-яких об’єктів: чисел, літер, геометричних фігур, навіть інших множин. Наприклад, множина A = {1, 2, 3} складається з трьох елементів: 1, 2 і 3.
Важливою властивістю множин є те, що кожен елемент множини є унікальним — жоден елемент не повторюється. Крім того, множини можуть бути скінченними або нескінченними, залежно від кількості елементів, які вони містять. Наприклад, множина цілих чисел ℤ є нескінченною, оскільки містить усі цілі числа.
Множини зазвичай позначаються великими літерами латинського алфавіту, а їх елементи — малими літерами. Елементи в множині можуть бути розташовані у довільному порядку, оскільки порядок елементів не має значення.
Множини широко використовуються в багатьох розділах математики, включаючи теорію чисел, логіку, теорію ймовірностей, алгебру та багато інших. Операції над множинами, такі як об’єднання, перетин, різниця та симетрична різниця, є важливими інструментами для аналізу та розв’язання математичних задач.
Що таке об’єднання множин?
Об’єднання множин — це множина, яка містить всі елементи, що належать хоча б одній із множин, які ми об’єднуємо. Формально об’єднання множин A і B позначається як A∪B означає множину всіх елементів, які є або в множині A, або в множині B, або в обох.
Знак обʼєднання множини “∪” читається як “або”.
Приклад об’єднання множин:
Нехай є дві множини:
- A = {1, 2, 3}
- B = {3, 4, 5}
Тоді об’єднання цих множин A∪B буде множиною, яка містить всі елементи обох множин: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
Як бачимо, елемент 3, який належить обом множинам, повторюватися не буде.
Що таке перетин множин?
Перетин множин — це множина, яка містить лише ті елементи, що належать обом множинам одночасно. Тобто, перетин множин A і B позначається як A∩B, і це всі елементи, які є одночасно в обох множинах.
Приклад перетину множин:
Нехай знову дві множини:
- A = {1, 2, 3}
- B = {3, 4, 5}
Тоді перетин цих множин A∩B буде: A∩B = {3}
Як видно, елемент 3 є єдиним, який зустрічається в обох множинах.
Іноді термін переріз множин використовується в тій же ролі, що й перетин множин, однак він частіше застосовується в геометрії або при роботі з просторовими множинами. Він описує область, в якій перетинаються геометричні об’єкти, наприклад, площини або фігури.
У контексті множин переріз має на увазі множину спільних елементів, аналогічно до перетину.
Різниця множин
Різниця множин — це операція, яка дозволяє визначити елементи, що належать одній множині, але не належать іншій. Різниця множин A і B позначається як A − B, і це всі елементи множини A, які не є елементами множини B.
Приклад різниці множин:
Нехай множини:
- A = {1, 2, 3}
- B = {3, 4, 5}
Тоді різниця множин A − B буде: A – B = {1, 2}
Тобто, ми взяли лише ті елементи з A, які відсутні в B.
Симетрична різниця множин
Симетрична різниця множин — це множина, яка містить елементи, що належать тільки одній із множин, але не обом одночасно. Симетричну різницю множин A і B позначають як A△B.
Приклад симетричної різниці:
Для тих же множин A = {1, 2, 3}B = {3, 4, 5} симетрична різниця буде: A△B = {1, 2, 4, 5}.
Тобто, елемент 3 виключений, оскільки він присутній в обох множинах.
Діаграми Венна
Для візуалізації об’єднання, перетину та інших операцій над множинами часто використовують діаграми Венна. Діаграми Венна — це кола, що представляють множини, де перекриття кіл показує їхній перетин.
Діаграми Венна: приклади
Якщо ми візуалізуємо множини A і B на діаграмі Венна, об’єднання буде представлено всією площею обох кіл, тоді як перетин — лише тією областю, де ці кола перекриваються.
Висновок
Таким чином, основні операції над множинами допомагають зрозуміти, як взаємодіють різні набори елементів, та знаходити спільні чи відмінні між ними елементи. Ці поняття активно використовуються у багатьох галузях математики та інформатики, зокрема в алгебрі, логіці та теорії ймовірностей.
