Математична індукція — це метод доведення тверджень для всіх натуральних чисел (тобто для чисел 1, 2, 3, 4 і так далі). Щоб цей метод працював, нам потрібно переконатися у правильності твердження для початкового числа (зазвичай для числа 1) і показати, що якщо твердження вірне для якогось числа n, то воно також буде вірним для числа n+1.
Цю тему вивчають у 9-10 класах на уроках алгебри. Розберімось, що таке метод математичної індукції.
Кроки математичної індукції
Метод математичної індукції складається з двох основних кроків:
- База індукції: Спочатку ми перевіряємо, чи вірне твердження для найменшого числа, з якого починається послідовність. Часто це число n = 1, але іноді це може бути інше число, наприклад, n = 0 або n = 2.
- Індукційний перехід: Після того, як ми показали, що твердження вірне для n = 1 (або іншого базового числа), ми припускаємо, що воно вірне для деякого числа nnn, і намагаємось довести, що тоді воно також вірне для n + 1.
Якщо ці два кроки виконано, можна зробити висновок, що твердження вірне для всіх натуральних чисел.
Приклад застосування методу математичної індукції
Розглянемо простий приклад: доведемо, що сума перших n натуральних чисел дорівнює:
\[\frac{n\left(n+1\right)}2\]Це означає, що:
\[1+2+3+…+n=\frac{n\left(n+1\right)}2\]Спочатку перевіримо твердження для n=1.
\[1=\;\frac{1(1+1)}2=1\]Отже, твердження вірне для n=1.
Тепер припустимо, що твердження вірне для якогось n. Тобто припускаємо, що:
\[1+2+3+…+n=\frac{n\left(n+1\right)}2\]Нам потрібно довести, що це твердження вірне для n + 1, тобто що:
\[1+2+3+\dots+n+(n+1)=\frac{\left(n+1\right)(n+2)}2\]Додамо n+1 до обох сторін припущення:
\[1+2+3+\dots+n+(n+1)=\frac{n(n+2)}2+(n+1)\]Приведемо до спільного знаменника:
\[\frac{n(n+2)}2+\frac{2(n+2)}2=\frac{n(n+1)+2(n+1)}2\]Винесемо (n+1) за дужки:
\[\frac{(n+1)(n+2)}2\]Отже, ми довели, що якщо твердження вірне для числа nnn, то воно також вірне для n+1.
Де використовується метод математичної індукції?
Метод математичної індукції використовується в багатьох галузях математики. Ось кілька прикладів:
- Доведення формул для суми рядів. Наприклад, як у нашому прикладі з сумою перших nnn чисел, можна використовувати індукцію для доведення формул для сум квадратів, кубів тощо.
- Доведення властивостей послідовностей. Наприклад, індукцію можна застосовувати до арифметичних і геометричних прогресій.
- Доведення властивостей геометричних фігур. Можна використовувати індукцію для доведення теорем у планіметрії та стереометрії.
Переваги методу математичної індукції
Метод математичної індукції є потужним інструментом, тому що дозволяє працювати з нескінченними множинами (натуральними числами, послідовностями, рядами тощо). Використовуючи всього два кроки — базу індукції та індукційний перехід — можна впевнитися в правильності тверджень для будь-якої кількості чисел.
Висновок
Метод математичної індукції — це простий і ефективний спосіб доведення в математиці. Хоча він може здаватися складним на перший погляд, його застосування полягає в логічній послідовності дій: спочатку перевіряємо твердження для початкового числа, а потім показуємо, що правильність цього твердження “передається” від одного числа до іншого.
