Математика часто здається складною, особливо коли мова йде про алгебраїчні перетворення. Однак, якщо розібратися, багато формул є інтуїтивно зрозумілими і надзвичайно корисними. Сьогодні ми поговоримо про формули суми і різниці кубів — одні з базових алгебраїчних формул, які часто використовується в шкільній програмі та знаходять застосування у математиці в цілому.
Що таке сума кубів?
Многочлен такого називають сумою кубів.
\[a^3+b^3\]
Щоб розкласти на множники дану суму використовують формулу:
\[a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-ab+b^2\right)\]
- Перший множник – двочлен (a+b).
- Другий множник– тричлен другого степеня
\[\left(a^2-ab+b^2\right)\]
Пам’ятай
- Для суми кубів: перший множник має знак «+» (a+b).
- Другий множник — тричлен із середнім доданком зі знаком «-» (−ab).
- Квадрати завжди мають знак «+» у другому множнику.
Що таке різниця кубів?
Многочлен такого називають різницею кубів.
\[a^3-b^3\]
Щоб розкласти на множники дану суму використовують формулу:
\[a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)\]
- Перший множник – двочлен (a-b).
- Другий множник– тричлен другого степеня: \[\left(a^2+ab+b^2\right)\]
Пам’ятай
- Для різниці кубів: перший множник має знак «-» (a−b).
- Середній доданок у другому множнику — зі знаком «+» (+ab).
- Квадрати завжди мають знак «+» у другому множнику.
Приклад застосування формули cуми кубів
Завдання: Розкласти на множники:
\[x^3+8\]
Розвʼязання:
\[x^3+8=x^3+2^3=(x+2)\left(x^2-2x+4\right)\]
Приклад застосування формули різниці квадратів
Завдання: Розкласти на множники.
\[27a^3-64b^3\]
Розв’язання:
1. Представимо значення як куби:
\[27a^3={(3а)}^3,\;\;\;\;64b^3={(4b)}^3\]
2. Підставимо у формулу:
\[27a^3-64b^3=(3a-4b)({(3a)}^2+3a\times4b+{(4b)}^2)\]
3. Обчислимо:
\[{(3а)}^2=9a^2,\;\;\;\;3a\times4b=12ab,\;\;\;{(4b)}^2=16b^2\]
4. Остаточний результат:
\[27a^3-64b^3=(3a-4b)(9a^2+12ab+16b^2)\]
Висновок
Формули суми і різниці кубів є потужним інструментом в алгебрі, який спрощує розрахунки та дозволяє ефективно працювати з поліномами. Її знання та вміння застосовувати відкриває двері до розв’язання складних математичних задач. Вчіть формулу з Mathema, практикуйте її використання, і математика стане значно простішою!
