Формули скороченого множення — це набір математичних рівнянь, які дозволяють значно спростити обчислення виразів. Цю тему вивчають у 7 класі на уроках алгебри. Формули скороченого множення особливо корисні під час розв’язування рівнянь, спрощення виразів та факторизації.
Якщо ти їх освоїш, то зможеш швидше і легше вирішувати багато завдань з математики. Розглянемо основні формули скороченого множення і як ними користуватися:
Усі формули скороченого множення
\[{(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2\] \[{(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2\] \[a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\] \[{(a+b)}^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\] \[{(a-b)}^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\] \[a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-ab+b^2\right)\] \[a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)\]
Як використовувати формули скороченого множення: приклади
Тепер розглянемо кожну формулу і як її застосовують під час розвʼязування виразів.
Квадрат суми двох чисел
Ця формула допомагає піднести до квадрата суму двох виразів:
\[{(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2\]Припустимо, у нас є сума (a + b), і ми хочемо її піднести до квадрата. Згідно з формулою, треба спершу піднести кожен елемент до квадрата: a² і b². Потім між ними додається подвоєний добуток обох елементів: 2ab.
Це виглядає так:
- Квадрат першого елемента: a²
- Подвоєний добуток: 2ab
- Квадрат другого елемента: b²
Наприклад, підносимо до квадрата вираз (3 + 4)²:
(3 + 4)² = 3² + 2 · 3 · 4 + 4² = 9 + 24 + 16 = 49
Квадрат різниці двох чисел
Ця формула є подібною до попередньої, але стосується різниці двох виразів:
\[{(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2\]Як і в попередньому випадку, підносимо кожен елемент до квадрата, але тепер замість додавання у нас віднімання. Подвоєний добуток буде з від’ємним знаком:
- Квадрат першого елемента: a²
- Віднятий подвоєний добуток: -2ab
- Квадрат другого елемента: b²
Приклад для виразу (5 – 2)²:
(5 – 2)² = 5² – 2 · 5 · 2 + 2² = 25 – 20 + 4 = 9
Різниця квадратів
Ця формула дозволяє швидко знайти різницю квадратів двох чисел:
\[a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\]Різниця квадратів двох чисел завжди дорівнює добутку їхньої суми та різниці. Ця формула корисна, коли ти бачиш різницю квадратів і хочеш її факторизувати.
Приклад:
9² – 4² = (9 – 4)(9 + 4) = 5 · 13 = 65
Куб суми двох чисел
Ця формула дозволяє обчислити куб суми двох чисел:
\[{(a+b)}^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\]Куб суми складається з кількох доданків:
- Куб першого елемента: a³
- Подвоєний добуток квадрата одного елемента на інший: 3a²b і 3ab²
- Куб другого елемента: b³
Приклад:
(2 + 1)³ = 2³ + 3 · 2² · 1 + 3 · 2 · 1² + 1³ = 8 + 12 + 6 + 1 = 27
Куб різниці двох чисел
Якщо потрібно піднести до куба різницю двох чисел, використовуємо таку формулу:
\[{(a-b)}^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\]Тут принцип подібний до куба суми, але з деякими змінами знаків:
- Куб першого елемента: a³
- Віднятий подвоєний добуток квадрата першого елемента на другий: -3a²b
- Доданий подвоєний добуток першого елемента і квадрата другого: 3ab²
- Віднятий куб другого елемента: -b³
Приклад:
(3 – 2)³ = 3³ – 3 · 3² · 2 + 3 · 3 · 2² – 2³ = 27 – 54 + 36 – 8 = 1
Висновок
Формули скороченого множення — це потужний інструмент для спрощення математичних обчислень. Якщо ти їх запам’ятаєш і навчишся застосовувати, то багато завдань стануть для тебе набагато простішими.
