Арифметична та геометрична прогресії — це два основних типи числових послідовностей, які використовуються для опису закономірностей у ряді чисел.
Арифметична прогресія — це послідовність чисел, де кожен елемент відрізняється від попереднього на постійну величину, а геометрична прогресія — де кожен елемент є добутком попереднього на постійний множник.
В цій статті Mathema розповість все що потрібно знати на цю тему. Включно з формулами арифметичної та геометричної прогресії та їх прикладами.
Що таке арифметична прогресія?
Арифметична прогресія — це послідовність чисел, де кожен наступний член дорівнює попередньому члену, до якого додається постійна величина, що називається різницею прогресії. Цю різницю зазвичай позначають літерою d.
Формула арифметичної прогресії
Якщо позначити перший член прогресії як a₁, то загальну формулу для n-го члена арифметичної прогресії можна записати так:
\[a_n=a_1+\left(n-1\right)\cdot d\]де:
- a₁ — перший член прогресії;
- d — різниця прогресії;
- n — номер члена в послідовності;
- a_n — n-й член прогресії.
Наприклад, візьмемо послідовність 2, 5, 8, 11, 14. Це арифметична прогресія з різницею d = 3. Кожен наступний член отримується додаванням трійки до попереднього.
Приклад арифметичної прогресії
Прикладом арифметичної прогресії може бути така послідовність:
3, 7, 11, 15, 19
Це послідовність чисел, де кожен наступний член утворюється додаванням до попереднього числа постійної величини, яка називається різницею прогресії. У цьому прикладі різниця дорівнює 4, тобто до кожного числа ми додаємо 4, щоб отримати наступне.
- Перший член: 3
- Другий член: 3 + 4 = 7
- Третій член: 7 + 4 = 11
- Четвертий член: 11 + 4 = 15
- П’ятий член: 15 + 4 = 19
Властивості арифметичної прогресії
Арифметична прогресія має кілька важливих властивостей, які допомагають розв’язувати задачі та робити висновки про характер числових рядів. Ось кілька з них:
Властивість 1. Суму перших n членів (Sₙ) можна знайти за формулою:
\[S_n=\frac n2\cdot(a_1+a_n)\]
Це означає, що для обчислення суми достатньо знати перший і останній члени прогресії, а також кількість членів.
Властивість 2. Середнє арифметичне будь-яких двох членів прогресії дорівнює члену, який стоїть між ними. Наприклад, якщо взяти послідовність 3, 7, 11, то середнє арифметичне чисел 3 та 11 дорівнює 7, що відповідає середньому члену.
Властивість 3. Графік арифметичної прогресії (у випадку, якщо числа зображені на координатній площині) утворює пряму лінію, оскільки різниця між членами постійна.
Застосування арифметичної прогресії
Арифметичні прогресії використовуються у різних галузях науки та практики:
- Фінанси: В арифметичній прогресії можна описувати регулярні платежі або внески, наприклад, при розрахунку заощаджень або кредитних виплат.
- Фізика: Закони рівномірного руху, де відстань змінюється з постійною швидкістю, описуються арифметичними прогресіями.
- Архітектура і дизайн: Послідовності з постійними інтервалами між елементами, як-от кроки в сходах або розташування колон у будівлі, часто підпорядковуються законам арифметичної прогресії.
- Інформатика: Алгоритми, які потребують обчислення з постійним приростом або зменшенням значень, також базуються на арифметичних прогресіях.
Що таке геометрична прогресія?
Геометрична прогресія — це послідовність чисел, у якій кожен член після першого отримується шляхом множення попереднього члена на фіксоване число, що називається знаменником прогресії.
Навідмінну від арифметичної прогресії, де кожен наступний член отримується шляхом додавання постійного числа до попереднього, у геометричній прогресії використовується множення на фіксований коефіцієнт. Ця відмінність має суттєвий вплив на природу послідовності. В арифметичній прогресії члени збільшуються або зменшуються на однакову величину, тоді як у геометричній прогресії зростання або спадання відбувається експоненційно.
Формула геометричної прогресії
Якщо позначити перший член прогресії через a₁, а знаменник прогресії через q, то загальна формула для n-го члена геометричної прогресії виглядає так:
\[a_n=a_1\cdot q^{n-1}\]
Приклад геометричної прогресії
5, 10, 20, 40
Уявімо, що у вас є 5 монет, і ви вирішили кожного дня подвоювати їх кількість. Це буде приклад геометричної прогресії.
- Перший день: у вас є 5 монет.
- Другий день: ви подвоїли кількість, і тепер у вас 10 монет.
- Третій день: ви знову подвоїли кількість, і тепер у вас 20 монет.
- Четвертий день: ще раз подвоїли, і тепер у вас 40 монет.
Таким чином, ви кожного дня просто множите кількість монет на 2. Ця постійна дія називається геометричною прогресією, де ви починаєте з якогось числа (в нашому випадку 5) і постійно множите його на те саме число (у нашому випадку 2).
Сума перших nnn членів геометричної прогресії
Сума перших nnn членів геометричної прогресії, якщо знаменник q≠1, визначається за формулою:
\[S_n=a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}\]
Ця формула дозволяє швидко обчислити суму певної кількості перших членів прогресії, що є корисним при розв’язанні різних задач.
Застосування геометричної прогресії
Геометрична прогресія має широке застосування в різних галузях науки і техніки. Наприклад, вона використовується в фінансових розрахунках, при моделюванні експоненційного зростання або спадання (як у випадку з інвестиціями або розмноженням бактерій), у фізиці для опису різних природних явищ, а також у комп’ютерних алгоритмах.
Завдяки своїм властивостям, геометрична прогресія є важливим математичним інструментом, який дозволяє краще розуміти та моделювати процеси, що відбуваються в нашому світі.
Висновок
Геометрична та арифметична прогресії є двома важливими типами числових послідовностей, які широко використовуються в математиці та багатьох інших сферах. Основна різниця між ними полягає в способі, яким формується кожен наступний член послідовності.
В арифметичній прогресії кожен наступний член отримується шляхом додавання до попереднього постійного числа, що називається різницею прогресії. Це означає, що зростання або спадання значень відбувається рівномірно.
У геометричній прогресії кожен наступний член отримується шляхом множення попереднього на постійний коефіцієнт, який називається знаменником прогресії. Це призводить до того, що значення членів прогресії змінюються експоненційно, тобто зростають або зменшуються значно швидше, ніж в арифметичній прогресії.
Таким чином, арифметична прогресія підходить для опису ситуацій, де зміни відбуваються поступово і рівномірно, тоді як геометрична прогресія краще відображає явища, які зростають або зменшуються більш стрімко, наприклад, приріст населення або фінансові інвестиції. Розуміння цих відмінностей дозволяє більш ефективно застосовувати ці математичні інструменти у практичних завданнях.
